كيفية حل معادلة بمجهولين؟!
ما هي طرق حل معادلة بمجهولين ؟
ماهي طرق حل معادلتين بمجهولين وما أهميتها ؟!
هذا الدرس ينتمي لعلم الجبر والمعادلات الخطية
طريقة حل المعادلات بمجهولين
شرح كيفية حل معادلة بمجهولين بطريقة واضحة وبسيطة 2024
تعريف المعادلات التي تحتوي على مجهولين أو متغيرين :
هي كل معادلة أو مجموعة حدود تحتوي على نوعين من المجاهيل مثل X. Y ويمكن أن يكونا متساويان بالدرجة ويمكن أن يكونا مختلفين بالدرجة أي يمكن أن يكون ال X من الدرجة الأولى والثانية Y من الدرجة الرابعة ..
سنتعرف في هذا الدرس عن :
- تعريف المعادلات بمجهولين مختلفين
- كيفية حل المعادلات التي تحتوي على مجهولين مختلفين
- كيفية إيجاد قيم المجاهيل في هذا النوع من المعادلات
- طرق حل المعادلات بمجهولين
- أهمية المعادلات بمجهولين
- أمثلة شاملة ومتنوعة عن المعادلات بمجهولين
- أهمية المعادلات بأنواعها العديدة في علم الجبر الخطي
شرح كيفية حل معادلة بمجهولين بطريقة واضحة وبسيطة 2024
كيفية حل معادلة بمتغيرين أو بمجهولين مختلفين:
نقصد بحل المعادلة أي إيجاد قيم المجاهيل ومعرفتها ولكي نوجد قيمة مجهول واحد نحتاج إلى معادلة واحدة كالمعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد ولكي نحل معادلة بمجهولين ونوجد القيم العددية للمجهولين نحتاج إلى معادلتين يحتويان هذين المجهولين إذ لا يمكن حل معادلة بمجهولين اثنين إلا بوجود معادلة أخرى تساعد في إيجاد قيم المجهولين حيث يمكن حل معادلة واحدة فقط إذا كانت تحتوي على مجهول واحد كما أسلفنا سابقاً إما إذا احتوت المعادلة على مجهولين فيجب توفر معادلتين حصراً ، حيث يتم حل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقتين رئيسيتين هما
- طريقة الحذف أو الحذف بالجمع وهي القيام بجمع المعادلتين أو طرحهما من بعض للتخلص من مجهول وإبقاء مجهول إذ نحصل على معادلة واحدة بمجهول واحد نقوم بحله ببساطة بالاعتماد على طريقة حل المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد وإيجاد قيمة هذا المجهول ثم تعويض قيمته في أحدى المعادلتين لتصبح أحدى المعادلتين التي عوضنا بدل المجهول بقيمته معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد ونقوم بحلها بشكل بسيط جداً وبذلك نحصل على قيمة المجهول الثاني ونكون قد قمنا بحل معادلة بمجهولين..
- وطريقة التعويض : تعتمد هذه الطريقة على أن نخرج أحد المجاهيل من إحدى المعادلتين ووضعه بالطرف الأول من المعادلة قبل إشارة المساواة وليكنx وباقي الحدود في الطرف الثاني بعد إشارة المساواة = ثم تعويض هذه الحدود بدل هذا المجهول وليكن x في المعادلة الثانية لنحصل على معادلة بمجهول واحد وليكن Y ثم إيجاد قيمته وتعويضها في المعادلة الأولى لجعلها معادلة بمجهول واحد ثم إيجاد قيمة المجهول الأول وهو
وذلك كالآتي:
سنقوم بشرح هذه الطرق بشكل مبسط وواضح مع الأمثلة التوضيحيّة عليها
طريقة التعويض لحل معادلتين بمتغيرين مجهولين
لحل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة التعويض The Elimination Method يجب اتباع الخطوات الآتية:
- أخذ المعادلة الأبسط بين المعادلتين الموجودتين في المسألة
- في المعادلة التي تم أخذها، يجب إعادة ترتيب حدود المعادلة بحيث يتم كتابة المتغير الأول بدلالة المتغير الثاني أي (X = Y 2+1) على سبيل المثال
- ثم تعويض قيمة المتغير الأول التي تم إيجادها في الخطوة السابقة في المعادلة الثانية
تصبح المعادلة الثانية بدلالة المتغير الثاني فقط، وعندها نستطيع حل هذه المعادلة وإيجاد قيمة المتغير الثاني بالتحديد.
تعويض قيمة المتغير الثاني في المعادلة الأولى، ثم حلها وإيجاد قيمة المتغير الأول بالتحديد، وهكذا يكون قد تم إيجاد قيمة المتغيرين المجهولين في المعادلتين وإيجاد حل هذه المعادلات
-
مثال لتوضيح طريقة التعويض
المسألة الأولى:
حل المعادلتين الآتيتين معتمداً طريقة التعويض:
4 × + 2 ص = 8
5X+ 3Y= ٨
الحل:
نقوم بإخراج المجهول Y لوحده بدلالة المجهول X من المعادلة الأولى لأنها أسهل وأبسط
ص= 8- 4X2
نخرج المجهول Y لوحده من دون أمثال أو معامل أي نقسم طرفي المعادلة على ٢
ص= 8/2 -4س/2
ص = 4- 2X
نقوم بتعويض قيمة Y في المعادلة الثانية
٨= ٣(٤-٥س) +٥س
نقوم بفك القوس
٨= + ١٥ × -١٢ ٥x
أصبحت معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
نقوم بوضع المعاليم بطرف والمجاهيل بطرف
مع إجراء العمليات الحسابية البسيطة قبل النقل
20= X٨ +١٢ = ٢٠
بتقسيم الطرفين على ٢٠ نحصل على X=1
نقوم بتعويضه في المعادلة الأولى ليحصل على قيمة Y
8= 3ص + 5×1
3ص = 8-5 = 3
Y=1 وX=1 وهو المطلوب
مثال آخر :
X+2Y = 6
س+3ص = 8
نقوم بإخراج قيمة المجهول X بدلالة المجهول Y
X= 6-2Y
نعوضها في المعادلة الثانية يصبح لدينا:
6-2Y +3Y = 8
5 = و 14
ص= 14/ 5
نعوض في المعادلة الأولى
س + 2 × 14/ 5 =6
س = 6-28/5
X=2/5 وهو المطلوب
طريقة الحذف لحل معادلتين بمجهولين مختلفين
لحل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة الحذف The Substitution Method يجب اتباع الخطوات التالية :
- نقوم بترتيب المعادلتين بحيث يتم وضع المجهول الأول في المعادلة الثانية أسفل المجهول الأول في المعادلة الأولى
والمجهول الثاني في المعادلة الثانية أسفل المجهول الثاني في المعادلة الأولى، وذلك لتسهيل إجراء عملية الحذف إما بطريقة الجمع أو الطرح
- توحيد معامل أو أمثال أحد المجهولين مع عكس الإشارة ، إذا كان معامل المتغير X في المعادلة الأولى هو 2 ومعامله في المعادلة الثانية هو 4، فإننا نقوم يضرب المعادلة الأولى كاملةً بـ – 2، ليصبح معامل المتغير X في المعادلة الأولى -4 ومعاملة في المعادلة الثانية 4 مثلًا أي نجعل المعاملات أو الأمثال متساوية وإن كانت من نفس الإشارة موجبة أو سالبة مثلاً نقوم بعملية الطرح وإن كانت الأمثال عكس بعضها البعض أي واحدة موجبة وواحدة سالبة نقوم بعملية الجمع لحذف هذا المجهول وإيجاد قيمة المجهول الثاني وأي طريقة لحذف مجهول وإيجاد المجهول الثاني تُعد صحيحة..
3 .جمع المعادلتين معًا، وعندها يتم حذف المتغير ذو المعاملات المتساوية مع اختلاف الإشارة، وعندها يتبقى معادلة واحدة بمتغير واحد.
إيجاد قيمة المتغير الثاني من المعادلة التي نتجت بعد جمع المعادلتين معًا.
تعويض قيمة المتغير الثاني في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول، وهكذا يكون قد تم إيجاد قيمة المتغيرين المجهولين في المعادلتين.
مثال لتوضيح طريقة الحذف
السؤال:
حل المعادلتين الآتيتين:
2س + 3ص = 11
5ص – 2س = 13
الحل:
نقوم بترتيب المعادلتين من خلال وضع المجاهيل تحت بعضها لتسهيل عملية جمع أو طرح المعادلتين من بعضهما البعض :
١١= ٣Y + ٢X
–
13= 5Y – 2X
أصبح كل مجهولين متشابهين تحت بعضها البعض
نقوم بعملية طرح المعادلتين من بعضهما للتخلص من المجهول X لأن أمثال أو معامل X في المعادلتين متساويان ومن نفس الإشارة ؛ أي لو كان الأمثال مختلفات بالإشارة لقمنا بعملية الجمع للتخلص من هذا المجهول
نلاحظ أنه لم يبقى الا المجهول Y
8ص= -2
نقسم على 8 للتخلص من الأمثال وإيجاد قيمة المجهول Y
ص = -2/8 = -1/4
نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة الأولى
2X =+3/4 +11
2X= 3/ 37
س = 37/6
مثال آخر :
3X + 2Y = 6
+
3X – 2Y = 6
نلاحظ أنه في المعادلتين قيمة معاملات أو أمثال المجهول Y متساوية ومتعاكسة بالإشارة لذلك نقوم بعملية الجمع للتخلص من هذا المجهول
6س = 12
س = 2
نعوض في المعادلة الأولى
6 + 2Y =6
2Y =0
ص = 0
وX= 2 وهو المطلوب
يمكن التحقق من الحل ومن صحة قيم المتغيرين بتعويض قيم المجهولين الأول والثاني اللذان تم إيجادهما …
فإن كانت القيم تحقق المعادلتين أي الطرفين في كل معادلة متساويان فإن الحل صحيحًا وقيم المجاهيل صحيحة..
أهمية وفوائد المعادلات التي تحتوي على مجهولين أو أكثر :
تستخدم المعادلات بشكل عام من أجل حل المسائل المتنوعة وإيجاد حلول تقريبية وأكثر واقعية إذا يمكن أن تعطى مسألة بعمليات ناقصة ولكن يوجد في المسألة معادلة أو معادلتان نقوم بحلهما وإيجاد قيم المجاهيل لاستكمال المعطيات المفقودة وإمكانية حل المسألة بشكل صحيح والكثير من الاستخدامات الهامة في الكثير من العلوم والتخصصات وفي مجالات الحياة المتنوعة..
وخصوصاً في علم الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية والجبرية إذا قامت بصنع ثورة معلوماتية في عالم الجبر الخطي والتقدم الكبير والواسع في علوم الرياضيات وغيره من العلوم ..
أتمنى أن أكون قد قدمت الفائدة العلمية عن كيفية حل المعادلات التي تحتوي على مجهولين مختلفين وطرق حلها بشكل واضح وبسيط
لاتنسوا الإعجاب بموقعنا المتواضع ومشاركتنا أرآكم في قسم التعليقات في الأسفل لدعمنا والمساهمة في نشر المعلومات والمواضيع الهامة
