سنتعرف في هذا الدرس عن:

• معرفة المعادلات وكثيرات الحدود من الدرجة الثانية
• كيفية حل معادلات وكثيرات الحدود من الدرجات الثانية
• طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية
• فوائد بسيطة عن المعادلات من الدرجة الثانية
• أمثلة متنوعة على المعادلات من الدرجة الثانية

 

مقدمة عامة :

المعادلات كثيرات الحدود هي عبارات  وعلاقات مكونة من حدود أو أعداد حقيقية بينها عمليات جبرية  كالضرب والقسمة والجمع والطرح.

يمكن أن تتكون هذه الحدود من ثوابت عددية ومعاملات وأمثال ومجاهيل  ..

نحاول عادةً عند حل كثيرات الحدود أن نعرف النقاط التي عندها X = 0  أي قيمة المجهول معدومة

وتساوي الصفر يوجد حل واحد أو حلين لكثيرات الحدود من الدرجات الصغيرة كالدرجة الأولى والثانية،

على حسب ما إذا كانت الدالة  أو المعادلة من الدرجة الأولى أم الثانية (خطية أو تربيعية أوغير خطية …).

يمكن حل هذا النوع من كثيرات الحدود بسهولة باستخدام أساسيات الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية

والتربيعية البسيطة وطرق التحليل إلى عدة عوامل أي نشر وتحليل الحدود

إلى العديد من العوامل بالطبع هناك كثيرات حدود من درجات ورتبات أكبر وأعلى،

يمكنك تعلمها واكتساب المهارات اللازمة لحلها وإتقانها بشكل صحيح

بعد أن تتقن الدوال والمعادلات  الخطية والتربيعية البسيطة التي سنتعرف عليها في هذا الدرس إن شآءالله تعالى :

 

• الطريقة  الأولى :

حل معادلة أو دالة كثيرة حدود خطية:

 

1حدد ما إذا كانت كثيرة الحدود خطية ؟

تعريف الدالة أو المعادلة الخطية :

الدالة أو المعادلة الخطية هي كثيرة حدود وثوابت ومتغيرات من الدرجة الأولى  أي أن المجاهيل التي بها ليس عليها أسس وقوى  مكتوبة ( نقصد أسس أو قوى أكبر من العدد  1)

لهذه الدالة جذر أو حل أو ناتج واحد فقط بما أنها من الدرجة الأولى أي حسب قيمة  الدرجة يكون عدد الحلول لهذه المعادلة وإن كانت من الدرجة الثانية يكون لها حلين على الأقل وهكذا…

مثال:

4س + 8 = ؟  

هي كثيرة حدود خطية (من الدرجة الأولى) لأن المتغير

 

ليس فوقه أس أو قوة  (مما يعني أن أسه هو الواحد)

 

الخطوة الثانية

ساوِ المعادلة بصفر أي نقوم بعدم المعادلة ومساواتها للصفر  هذه خطوة أساسية لحل أي معادلة أو دالة كثيرة الحدود.

 

 

 

افصل الحد المجهول عن باقي الحدود الآخرى

نفذ هذا من خلال جمع أو طرح الثوابت العددية أو المعاليم من طرفي المعادلة ؛ الثابت أو الحد المعلوم هو الحد الذي لا يوجد به متغيرات أو مجاهيل  (عدد ثابت من غير أحرُف أو رموز )

مثال: لفصل الحد X

 

في الدالة

10+ 4س=2

، يجب أن تطرح العدد ٢ من طرفي المعادلة:

4س + 8 = 0

4

أوجد قيمة المتغير. ستحتاج عادةً أن تقسم طرفي المعادلة على أمثال أو معامل  المجهول  كي نحصل على ناتج كثيرة الحدود أو جذرها

مثال: لإيجاد قيمة  X

في 4X +8 =0

4س = -8

س = -2

قمنا بتقسيم طرفي المعادلة على4 بعد نقل العدد الثابت للطرف الآخر

 

• الطريقة  الثانية

حل كثيرات الحدود التربيعية

حدد ما إذا كانت كثيرة الحدود تربيعية.

تعريف كثيرات الحدود التربيعية:

يقصد بكثيرات الحدود التربيعية أنها من الدرجة الثانية  وبالتالي ما من مجهول  في الدالة أسه أو قوته  أكبر من 2  بما أن هذه كثيرة حدود من الدرجة الثانية، هذا يعني أنه يوجد  لها حلين أو جذرين لهذه المعادلة..

مثال: ²X + 5 = 30

هي كثيرة حدود من الدرجة الثانية لأن المتغير X أسه أو قوته ٢ من الدرجة الثانية

 

نتأكد من ترتيب كثير الحدود على حسب الدرجات  يعني هذا أن يكون الحد الذي أسه ٢

مكتوب أولًا (بما أنها الدرجة الأكبر في كثيرات الحدود أو المعادلات  التربيعية)،

ويليه الحد أو المجهول  الذي من الدرجة الأولى ثم الثوابت والمعاليم العددية

وهكذا في باقي المعادلات وكثيرات الحدود من الدرجات العليا أي أكبر من الدرجة الثانية وهكذا

المعادلة بصفر. هذه خطوة أساسية عند حل أي معادلة كثيرة الحدود من أي درجة

ويجعلها تساوي الصفر نطرح من طرفي المعادلة العدد ٣٠ تصبح المعادلة X² -25 =0

نجعل المجاهيل بطرف والمعاليم بطرف

س² = 25

نقوم بجذر الطرفين ليحصل على قيمة المجهول X وهو جذر أوحل خذه المعادلة

ونلاحظ أنه سينتج جذران متساويان بالقيمة ومتعاكسان بالإشارة ؛ لأن

لكل عدد جذران مثال جذر ٣٦ هو ± ٦  وجذر ٦٤ هو + ٨ و-٨  أي قيمتان دوماً

X= ± 5  أي يوجد حلان للمعادلة أو لكثير الحدود  الحل الأول هو +5 والحل الثاني

هو -5 ونلاحظ أن الحلان يحققان المعادلة بالتالي الحلان صحيحان

مثال:  X² +5X = 36

في هذه الحالة لدينا مجهول واحد لكن كل مجهول من درجة مختلفة أحدهما من الدرجة الأولى والآخر من الدرجة الثانية

هنا نقوم بنقل كل الحدود لطرف واحد وجعل الطرف الثاني صفراً

ثم جعل معامل أو أمثال المجهول من الدرجة الثانية وهو X²في مثالنا يساوي الواحد

ثم نحلل هذه المعادلة إلى جداء عوامل إن إستطعنا وذلك من  خلال وضع جداء أقواس

()  × () نقوم بو ضع X  المجهول في كل قوس  ..

الآن نقوم بكتابة المعادلة بعد جعلها تساوي الصفر (أي نقل الحدود كلها  لطرف واحد )

X² + 5 X -36 =0   

الآن نبحث عن عددين  ناتج جداءهما هو الحد الثالث وهو ٣٦- ومجموعهما هو أمثال أو معامل  المجهول من الدرجة الأولى أي X وهو العدد ٥

نجد أن العددان ٩ و -٤ جداءهما -٣٦ ومجموعهما ٥

نضع العدد الأكبر في القوس الأول وهو ٩  والعدد الأصغر في القوس الثاني وهو -٤

تصبح المعادلة : 0  =(X-4 ) (X+9 )

والتحقيق  من صحة اختيار الأعداد نقوم بإعادة نشر الأقواس لنحصل على المعادلة الأساسية

نعرف أن ناتج  جداء عددين يساوي الصغر إما العدد الأول يساوي الصفر  أو العدد الثاني يساوي الصفر

إذن إما ناتج القوس الأول يساوي الصفر X+9) =0. ) بالتالي X= -9 وهو الحل أو الجذر الأول

أو القوس الثاني يساوي الصفر وهو 0 =  (X-4 ) بالتالي  X= 4  و هو الحل أو الجذر الثاني

ويمكن أن تكون المعادلة غير ذلك ولا يمكن تحليل حدودها إلى جداء عوامل لذلك نلجأ إلى طريقة ال Delta

◇ سنرمز لها بهذا الرمز

◇ = ب² -4.ac

حيث b هو معامل أو أمثال المجهول X   ويساوي في معادلتنا العدد ٥

وa   هو معامل أو أمثال المجهول من الدرجة الثانية X²  ويساوي في المعادلة العدد ١

وc    هو العدد الثابت وهو -٣٦

نقوم بحل المعادلة بطريقة ثانية بطريقة الدلتا

◇ = ٢٥ -٤ × -٣٦ = ٢٥ + ١٤٤

نقوم بجذر الدلتا =± جذر ١٤٤ وهو ±١٢

الجذر الأول للمعادلة =  -b – جذر الدلتا = -٥ – ١٢ = -١٧ وهو الحل الأول لهذه المعادلة

الجذر الثاني للمعادلة = -b  + جذر الدلتا = -٥ +١٢ = ٧ وهو الجذر الثاني للمعادلة

في بعض المسائل والحالات نقوم باختيار حل فقط ورفض الآخر حسب نوع المسألة

 

ويمكن أن ترد المعادلة بالشكل X² +X =0

أي لايوجد عدد ثابت أو معدوم

هنا نختصر الحل عن طريق إخراج عامل مشترك من المعادلة وهو X

تصبح المعادلة  0 = (X+1 ) X

نلاحظ أنها تحولت لجداء عددين أو عوامل

بالتالي إماالأول يساوي الصفر وهو X=0  الحل أو الجذر الأول

أو الثاني يساوي الصفر وهو X+1 =0

أي X= -1  وهو الجذر الثاني لكثيرة الحدود أو للمعادلة

شرح مختصر لحل المعادلة السابقة:

قمنا  بكتابة  المعادلة  أو كثيرة الحدود في صورة ثنائيتي حدود. تتكون ثنائية الحدود

من عبارة بها حدين، وهي ما لديك منه واحدة بالفعل تظهر بين الأقواس في كل من المجموعتين.

يجب أن يتطابق هذا التعبير في المجموعتين كي يُمكن دمجهما كثنائية واحدة.

تتكون ثنائية الحد الثانية من خلال جمع الحدين اللذين تم إخراجهما كعوامل مشتركة من كل مجموعة أو من كل حد ..

أمثلة عن المعادلات من الدرجة الثانية: 

X² +2X -3X -5 =25

ننقل الثابت ٢5  إلى الطرف الثاني لجعل المعادلة تساوي الصفر  ثم نجري العمليات الحسابية البسيطة

تصبح المعادلة X² -X -30 =0

نبحث عن عددين جداءهما ٢٥ ومجموعهما-١ وهما -٦ و ٥

نحللهما إلى جداء عوامل 0 = (X+5 ) (X- 6)

إما الأول يساوي الصفر أي X= 6

أو الثاني يساوي  الصفر أي X= -5

مثال

=X²+ 6X0

نقوم بإخراج X عامل مشترك  من المعادلة

س(س+6 ) =0

إماX = 0

أو x=-6

ختاماً بعض الأفكار المفيدة:

لا تقلق إذا واجهت معادلة متغيراتها أو مجاهيلها مختلفة، مثل t أو y بدلًا من x، أو إذا وجدت

معادلة تساوي f(x) بدلًا من 0 طالما أن المطلوب من المعادلة أو كثيرة الحدود هو إيجاد

جذور أوحلول أو  أصفار أو التحليل إلى جداء  عوامل،

تعامل معها ببساطة كأي مسألة أخرى لأنك تعرف كيف توجد الحلول بكل بساطة

تذكر ترتيب العمليات الحسابية أثناء الحل:

ابدأ أولًا بما بين الأقواس إن وجدت ، ثم أجرِ  عمليتي الضرب والقسمة، وآخر خطوة هي إجراء عمليتي الجمع والطرح

أتمنى أن أكون قد قدمت الفائدة العلمية عن المعادلات  وكثيرات الحدود من الدرجة الثانية بأنواعها المختلفة والأمثلة عليها

لاتنسوا الإعجاب بموقعنا المتواضع ومشاركتنا أرآكم في قسم التعليقات في الأسفل لدعمنا والمساهمة في نشر المعلومات والمواضيع الهامة