التحليل العددي ،يعد التحليل العددي فرعًا هامًا من الرياضيات التطبيقية يهتم بدراسة الأساليب والتقنيات التي تستخدم لحل المشاكل الحسابية والرياضية باستخدام الحواسيب. يستند هذا الفرع إلى تطبيق المفاهيم الرياضية على حسابات تقريبية، مما يسهم في العثور على حلول دقيقة لمشاكل واسعة النطاق. سنتناول في هذا المقال :
- تعريف التحليل العددي
- أساليب رياضية للتحليل العددي عند المحللين العدديين المختصين بهذا المجال : أمثلة عن التحليل والطرق العددية
- تاريخ التحليل العددي وأهم تطوراته:دور هذا البحث الهام والمفيد في علوم الرياضيات والفيزياء وعلوم الحاسب الآلي.
- طرق وأساليب حل العلاقات و المعادلات غير الخطية باستخدام طرائق العد أو التحليل العددي
- أهمية التحليل العددي ودوره الهام والفعال
- دور هذا الدرس في تحليل العدد إلى عوامله الأولية و تحليل وتصميم الخوارزميات
شاهد ايضاً كيفية حساب ميل خط مستقيم.
تعريف التحليل العددي : Numerical analysis
هو فرع هام من فروع علم الرياضيات وعلم الحاسب الآلي (الكمبيوتر) وعلم المعلوماتية والبرمجة..، حيث يعمل على مبدأ إنشاء وتحليل وتنفيذ مجموعة من الخوارزميات وصنعها بشكل رهيب للوصول إلى حلول رقمية للمشاكل والمسائل الرياضية التي تبنى على التغيرات والاختلافات الدائمة و المستمرة، و يمكن أن تنشأ وتتكون هذه المسائل والتحديات والعقبات الكثيرة والمتنوعة في العلوم المختلفة كالعلوم الكونية و الاجتماعية والطبيعية وفي مجالات الطب والهندسة والتخصصات الجامعية والأعمال المتنوعة ، وقد يُطلَق على التبسيط أو التحليل العددي مسميات أُخرى، مثل: الطرق العددية والرقمية ، أو التحليل الوزني أو الكمي .
وقد أدى التطور والنمو الهائل للمعلوماتية وللحواسيب الرقمية والهواتف النقالة وتوفرها بكميات كبيرة ومميزاتها الضخمة والرهيبة إلى زيادة استخدامها والاعتماد عليها في مجالات الحياة اليومية والمتنوعة ؛ حيث أصبح الطلب حاجة وضرورة ماسة لتحليل النماذج والجداول الرياضية في تخصصات العلوم المتنوعة ومجالات الهندسة الكثيرة والمتنوعة .وذلك لحل التعقيدات والصعوبات والعقبات الموجودة فيها، فظهر مابين العامين (1990-1980) نظام يجمع بين نماذج التحليل العددي والحسابات الرياضية الرمزية ورسومات الكمبيوتر والأكواد البرمجية التي تتعلق بنظام التحليل العددي أو التحليل الكمي وغيرها من المجالات الأخرى لعلوم وأنظمة الكمبيوتر؛ وذلك لتسهيل إنشاء نماذج وأنظمة رياضية معقدة للمستخدمين والمعلمين بهذا المجال وللناس كلهم بشكل عام وذلك من أجل حلها وتفسيرها بشكل بسيط وسهل يفهمه جميع شرائح المجتمع.
أساليب رياضية للتحليل العددي عند العلماء المختصين والمحللين في هذا المجال
يدرس التحليل العددي جميع جوانب المشاكل والمسائل الموجودة من الناحية العددية والرقمية ويكون ذلك من خلال النمو و التطور والتقدم النظري وفهم الأساليب العددية وبرمجتها و تنفيذها على شكل برامج ونماذج محوسبة، حيث تتميز هذه البرامج بموثوقيتها وفعاليتها الرائعة بالإضافة لسهولة فهمها والعمل عليها ، وقد عمل المحللين العددين المختصين في هذا المجال في الحقول الفرعية للتحليل العددي على وضع مجموعة من وجهات النظر والاهتمامات المشتركة فيما بينهم، وتشتمل هذه الاهتمامات على الأساليب الرياضية للتحليل العددي، وفي ما يلي توضيح لبعض هذه الأساليب التي اتفق عليها العلماء المحللين العدديين:
الأسلوب الأول:
في حال مواجهة مسألة أو مشكلة مستعصية ولا يمكن حلها بطرق مباشرة واعتيادية ، يمكن استبدال هذه المشكلة بمشكلة أخرى قريبة عليها من حيث العمل والنظام بحيث يمكن حلها بسهولة وببساطة، ومن الأمثلة على هذا الأسلوب استعمال الاستيفاء في تطوير أساليب و طرق الربط و الدمج الرقمي وطرق وأساليب استكشاف الجذور والحلول.
الأسلوب الثاني:
الأسلوب الثالث:
الأسلوب الرابع:
على سبيل التوضيح , المثال التالي له جذور حساسة:
P(X) = (X − 1) ×(X− 2)× (X − 3) ×(X −4)× (X − 5) ×(X− 6) ×(X– 7)
P(X) = X⁷ −28xX⁶ + 322X⁵ − 1,960X⁴ − 6,769X³ − 13,132X² + 13,068X¹ − 5,040
فإذا تم تغيير أمثال أو معاملات العدد X⁶ إلى −28.002 ، فإن الجذور الأصلية (5 ,6) تتغيّر إلى الأعداد المعقدة و المركبة 5.459 0.540i —a، وهو تغيير هام ومفيد في القيم، ويطلق على (S) كثير الحدود أو السلسلة أو متتالية .. اسم غير مستقر فيما يخص مشكلة اكتشاف الحل أو الجذر لمعادلة معينة ، ويجب ألا تكون الطرق والحالات العددية لحل المشكلات والمسائل أكثر حساسية للتغيرات في البيانات والمعلومات أكثر وأعقد من المشكلة الأصلية التي يجب حلها، علينا أن ننوه بإن يجب أن تكون صياغة المشكلة الأصلية جيدة وصحيحة .
شاهد ايضاً أسهل طريقة لحفظ جدول الضرب للأطفال 2023.
ثالثاً: تاريخ التحليل العددي
نشأ علم الخوارزميات والعمليات المتعلقة بها قبل التاريخ الميلادي بحوالي 16٠0 سنة، حيث كانت تهتم بطرق الحصول على الحلول و الجذور من أجل إيجاد حل للمعادلات السهلة و البسيطة. وقد طوّر العلماء وخصوصاً العلماء اليونانيون القدامى العديد من طرق العد والتحليل العددي والكمي ، ومن هؤلاء العلماء إيودوكسوس والعالم أرخميدس الذي أتقن طريقة الاستنتاج والاستنباط من أجل حساب المساحات والأطوال وحجوم الأشكال الهندسية المتنوعة .
علاوة على ذلك طور العالم إسحاق نيوتن وغيره من العلماء حساب التفاضل والتكامل وإيجاد قوانين وعلاقات لتسهيل حساب التكامل والتفاضل واستنتاج العلاقة بينهما ، ممّا أدى إلى الحصول على نماذج وعلاقات وأبحاث رياضية في منتهى الدقة والموثوقية في مجال علوم الرياضيات والفيزياء وتخصصات الهندسة المختلفة وتخصصات الطب والأعمال الإدارية و التجارية أيضاً .
وكان ما يميز هذه النماذج والأبحاث الرياضية هو أنها كانت معقدة جداً وصعبة للغاية، بحيث كان لا يمكن الوصول إلى حلول دقيقة صريحة لها وكان من المستحيل إيجاد حلول دقيقة وموثوقة مما دفع العلماء لإيجاد نماذج وقوانين لتسهيلها إلى حد كبير بالإضافة للدقة والموثوقية . وقد بُذِلت الكثير من جهود وأعمال العلماء للحصول على حلول وجذور قريبة للحلول الصحيحة والواقعية وكانت رائعة و مفيدة للغاية، مما كان دافعاً ضرورياً ورئيسياً لاستخدام والاعتماد على طرق التحليل الرقمي والتحليل العددي والكمي .
ومن الجوانب والأبحاث الأخرى المهمة في عملية تطوير وتنمية الطرق العددية كان إيجاد علم اللوغاريتمات والتوابع الأسية من قبل مجموعة من العلماء الرياضيين ، ومن بينهم العالم الأسكتلندي جون نابيير في عام 1614، ففي علم اللوغاريتمات تُستبدَل عمليّتا الضرب والقسمة في المعادلات والتوابع . ويُستعاض عنهما بعمليّتي الجمع والطرح؛ الجمع بدلاًمن عملية الضرب والطرح بدلاً من عملية القسمة (سنقوم بعمل درس عن اللوغاريتمات في الدروس المقبلة إن شآءالله)، وذلك بتحويل القيم الأصلية بناءً على جداول ونماذج خاصة، وقد ساعدت هذه العملية المخترع والعالم باباج في تصنيع أول حاسب آلي (الكمبيوتر ).
وقد وضع العالم أسحاق نيوتن العديد من القوانين والعلاقات الفيزيائية الأساسية والهامة ، وأوجد وابتكر الكثير من الطرق العددية الرقمية لحل المشكلات والمسائل والصعوبات الرياضية التي تواجه كل من يتعلم هذه الأمور .حيث لا يزال اسمه مرتبطاً بالعديد من العلاقات و الأفكار الأصلية، ومن أهم إنجازاته إيجاد حلول للمعادلات والمسائل المتنوعة وإيجاد معادلات كثيرة الحدود التي تناسب مجموعة من البيانات والمعلومات المهمة.
ومن بعده قدم العديد من العلماء الرياضيين إنجازات وإبداعات مهمة أثرت بشكل واضح في التحليل العددي والكمي ، ومن بين هؤلاء العلماء: العالم الفرنسي لاغرانج (1736-1813) الذي أبدع في كثير من العلوم منها علم الرياضيات والفيزياء ، والعالم السويسري أويلر (1707-1783) والعالم الألماني كارل فريدريش (1777-1855) اللذين أبدعوا في كثير من العلوم والعديد من المجالات الهامة في الحياة.
رابعاً: من طرق حل المعادلات غير الخطية :
باستخدام التحليل العددي هناك مجموعة من الطرق العددية تُسمّى الطرق التكرارية ، التي تجد حلولاً قريبةً جداً من الحلول الصحيحة والتي يطلب إيجادها بشكل صحيح ودقيق، حيث يُفترَض أن القيمة الأولية هي X0وفيما يأتي توضيح لأكثر الطرق المستخدمة في إيجاد حلول المعادلات غير الخطية، ومنها ما يأتي:
مبرهنة القيمة الوسطى Mean Value theorem
إن أكثر طرق حل المعادلات غير الخطية نحصل من خلالها على الصيغة الدورية التكرارية كالمثال :
Xn+1 = Xn −F(Xn) /K
حيث إنّ:
……n= 0,1,2,3,4,5
= f(xn) − f(xn-1) ÷ xn – xn-1
طريقة التكرار Iterative Method
تستخدم هذه الطريقة لحل المعادلات والعلاقات الرياضية عندما:
0=(f(x وذلك بوضع X = g (x) أي X هي للحل أو الجذر للمعادلة ونكتبها بدلالة تابع غير المعادلة أو التابع الأصلي بمثالنا ( g (x حيث ينتج عن التابع الأصلي بإجراء عملية حسابية بسيطة عليه.
على سبيل المثال يمكن كتابة المعادلة
(³ −9 = 0) بعدة طرق وبصياغات مختلفة ، منها:
= ³ −9 +
= 9-³+
= 9 /²
ثم يتم إيجاد قيمة مناسبةX=X0، أي قيمة أولية بدائية
نلاحظ هنا أن للمعادلة جذر أو حل وحيد وهو جذر٣ الموجب
وتتكون من خلالها سلسلة من التقريبات إلى حين الوصول إلى حلول المعادلة، وهو:
X= g (x) وذلك باستخدام الصيغة الآتية:
( Xn-1 = g(xn طريقة العالم أسحاق نيوتن وغيره من العلماء
لحل معادلات غير الخطية باستخدام هذه الطريقة ، تُكتَب المعادلة على صورة 0=f (x) أي نقوم بعدم التابع لإيجاد جذور هذا التابع.
ثم يتم إيجاد قيمة قريبة للجذر الصحيح الواقع بين القيمتينA, B) ) ومن ثمّ يتم إيجاد القيم على شكل سلسلة
ويمكن اعتبار مايلي بشكل عام :
Xn+1 = Xn −f( xn+1)÷ f(xn) .
سنتعرف لاحقاً عن تحليل العدد إلى عوامله الأولية إن شآءالله.أتمنى أن أكون قد قدمت الفائدة العلمية عن بحث التحليل العددي والكمي وطرائق وأساليب التحليل وإيجاد الحلول والجذور للمعادلات والعلاقات الرياضية.
لاتنسوا الإعجاب بمدونتنا المتواضعة ومشاركتنا آرآكم في قسم التعليقات في الأسفل
دمتم في أمان وطاعة الله والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته♥️
